Sin(6x)/sin(x) - Corrigé

Énoncé

Exprimer \(\dfrac{\sin(6x)}{\sin(x)}\) en fonction de \(\cos(x)\) .

Solution

D'après la formule de Moivre , \((\cos(x)+i\sin(x))^6=\cos(6x)+i\sin(6x)\) .
On en déduit que \(\sin(6x)=\text I\text m\left[(\cos(x)+i\sin(x))^6\right]\) .

D'après la formule du binôme de Newton,
\(\begin{align*}(\cos(x)+i\sin(x))^6& = \cos^6(x)+6\cos^5(x)i\sin(x)+15\cos^4(x)(i\sin(x))^2+30\cos^3(x)(i\sin(x))^3\\& \quad +15\cos^2(x)(i\sin(x))^4+6\cos(x)(i\sin(x))^5+(i\sin(x))^6\\& = \cos^6(x)+6i\cos^5(x)\sin(x)-15\cos^4(x)\sin^2(x)-30i\cos^3(x)\sin^3(x)\\& \quad +15\cos^2(x)\sin^4(x)+6i\cos(x)\sin^5(x)-\sin^6(x).\end{align*}\)

On en déduit que : 
\(\begin{align*}\sin(6x)=6\cos^5(x)\sin(x)-30\cos^3(x)\sin^3(x)+6\cos(x)\sin^5(x)\end{align*}\)
et donc, pour x réel tel que \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k \pi \text{ avec } k \in \mathbb{Z}\) ,  \(\begin{align*}\frac{\sin(6x)}{\sin(x)}& = 6\cos^5(x)-30\cos^3(x)\sin^2(x)+6\cos(x)\sin^4(x)\\& = 6\cos^5(x)-30\cos^3(x)(1-\cos^2(x))+6\cos(x)(1-\cos^2(x))^2\\& = 6\cos^5(x)-30\cos^3(x)(1-\cos^2(x))+6\cos(x)(1-2\cos^2(x)+\cos^4(x))\\& = 6\cos^5(x)-30\cos^3(x)+30\cos^5(x)+6\cos(x)-12\cos^3(x)+6\cos^5(x)\\& = 42\cos^5(x)-42\cos^3(x)+6\cos(x).\end{align*}\)